Тренды

Нули функции

Математика

Понятие функции

Зависимость одной переменной от другой называется функциональной зависимостью. Зависимость переменной y от переменной x называется функцией, если каждому значению x соответствует единственное значение y.

Обозначение:

Переменную x называют независимой переменной или аргументом, а переменную y - зависимой. Говорят, что y является функцией от x. Значение y, соответствующее заданному значению x, называют значением функции.

Все значения, которые принимает x, образуют область определения функции; все значения, которые принимает y, образуют множество значений функции.

Обозначения:

D(f) - значения аргумента. E(f) - значения функции. Если функция задана формулой, то считают, что область определения состоит из всех значений переменной, при которых эта формула имеет смысл.

Графиком функции называется множество всех точек на координатной плоскости, абсциссы которых равны значениям аргумента, а ординаты - соответствующим значениям функции. Если некоторому значению x=x0 соответствуют несколько значений (а не одно) y, то такое соответствие не является функцией. Для того чтобы множество точек координатной плоскости являлось графиком некоторой функции, необходимо и достаточно, чтобы любая прямая параллельная оси Оу, пересекалась с графиком не более чем в одной точке.

1) Функция может быть задана аналитически в виде формулы. Например,

2) Функция может быть задана таблицей из множества пар (x; y).

3) Функция может быть задана графически. Пары значений (x; y) изображаются на координатной плоскости.

Функция f(x) называется возрастающей на данном числовом промежутке, если большему значению аргумента соответствует большее значение функции. Представьте, что некоторая точка движется по графику слева направо. Тогда точка будет как бы "взбираться" вверх по графику.

Функция f(x) называется убывающей на данном числовом промежутке, если большему значению аргумента соответствует меньшее значение функции. Представьте, что некоторая точка движется по графику слева направо. Тогда точка будет как бы "скатываться" вниз по графику.

Функция, только возрастающая или только убывающая на данном числовом промежутке, называется монотонной на этом промежутке.

Нули функции и промежутки знакопостоянства

Значения х, при которых y=0, называется нулями функции. Это абсциссы точек пересечения графика функции с осью Ох.

Такие промежутки значений x, на которых значения функции y либо только положительные, либо только отрицательные, называются промежутками знакопостоянства функции.

Четная функция обладает следующими свойствами:

1) Область определения симметрична относительно точки (0; 0), то есть если точка a принадлежит области определения, то точка -a также принадлежит области определения.

2) Для любого значения x, принадлежащего области определения , выполняется равенство f(-x)=f(x)

3) График четной функции симметричен относительно оси Оу.

Нечетная функция обладает следующими свойствами:

1) Область определения симметрична относительно точки (0; 0).

2) для любого значения x, принадлежащего области определения , выполняется равенство f(-x)=-f(x)

3) График нечетной функции симметричен относительно начала координат (0; 0).

Не всякая функция является четной или нечетной. Функции общего вида не являются ни четными, ни нечетными.

Функция f называется периодической, если существует такое число , что при любом x из области определения выполняется равенство f(x)=f(x-T)=f(x+T). T - это период функции.

Всякая периодическая функция имеет бесконечное множество периодов. На практике обычно рассматривают наименьший положительный период.

Значения периодической функции через промежуток, равный периоду, повторяются. Это используют при построении графиков.

Нули функции

Рассмотрим вопрос о нахождении нулей функции и промежутков, где функция сохраняет знак.

Для нахождения нулей функции нужно решить уравнение f ( x ) = 0 , а для нахождения промежутков знакопостоянства нужно решить неравенства f ( x ) > 0 и f ( x ) < 0 .

Если на некотором промежутке функция непрерывна и не имеет корней, то она сохраняет знак на этом промежутке.

На этой теореме базируется метод интервалов решения неравенств.

Добавить комментарий

Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *

+ 43 = 53